本文主要讨论Bloch球的两种表示。

参考文献：

1. Naghiloo, Mahdi. ‘Introduction to Experimental Quantum Measurement with Superconducting Qubits’. arXiv, 18 April 2019.

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  目前主流的Bloch球都是将\(\ket{0}\)放置于Bloch球的z轴正半轴，将\(\ket{1}\)放置于Bloch球的z轴负半轴。

  对于这种画法，大部分文献给出的解释是约定俗成。

  Sakurai书中的推导是这样的：对于单位矢量\(\hat{n}=(n_x,n_y,n_z)=(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)\)，\(S\cdot\hat{n}=n_x\hat{S_x}+n_y\hat{S_y}+n_z\hat{S_z}\)的一个本征态为：

$$\ket{\hat{n};+}=\cos\frac{\theta}{2}\ket{+}+e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}\ket{-}$$

  类似的，任何一个波函数\(\ket{\psi}=c_1\ket{0}+c_2\ket{1}\)都能看成某个\(S\cdot\hat{n}\)算符的其中一个本征态，因此波函数可以写成另一种形式：

$$\ket{\psi}=\cos\frac{\theta}{2}\ket{0}+e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}\ket{1}$$

  对于二能级系统，一般定义：

$$\begin{cases} \ket{0}\equiv\ket{g}\\ \ket{1}\equiv\ket{e}\end{cases}\tag{1}$$

  于是，任意一个二能级纯态与单位矢量\(\hat{n}\)一一对应。这种对应关系能够推广至混合态与单位球内任一矢量。

  说实话，一开始我也觉得这种表示方法挺完美的，直到我尝试用QuTiP把Relaxation过程画在Bloch球上，发现由于QuTiP采取（1）中的定义，画出来的Relaxation是从z轴负半轴向正半轴移动的，这实在是太别扭了。图太丑就不放了

看看别人的图

  后来了解到其中的历史原因。Bloch球最早来自于NMR，以Felix Bloch的名字命名，研究NMR的人喜欢定义： $$\begin{cases} \ket{0}\equiv\ket{\uparrow}\\ \ket{1}\equiv\ket{\downarrow}\end{cases}$$

于是自然的，将\(\ket{0}\)放在正半轴，\(\ket{1}\)放在负半轴。而对于更关注能级的研究者（比如solid-state physicist）来说，将\(\ket{1}\)放在正半轴，\(\ket{0}\)放在负半轴，则显得更为自然，因此他们也使用这种修改版的Bloch球。