本文主要讨论London方程，Pippard理论和Ginzburg-Landau(GL)理论。

  本文还未引入Cooper对的概念，实际使用时，需要将$e,m$修正为$2e,2m$。

参考文献：

1. 张裕恒，超导物理

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London方程

$$\begin{array}{}\text{(London-I)}& \frac{\partial }{\partial t}{\mathit{j}}_s=\frac{n_s{e}^2}{m}\mathit{E}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(London-II)}& \mathit{B}=-\frac{m}{n_s{e}^2}\mathrm{\nabla }\times {\mathit{j}}_s\end{array}$$

穿透深度

$${\lambda }_L=\sqrt{\frac{m}{{\mu }_0{n}_s{e}^2}}$$

Pippard方程

$${\mathit{j}}_s(\mathit{r})=-\frac{3}{4\pi {\xi }_0}\frac{1}{{\mu }_0{\lambda }_L^2}\int \frac{\mathit{R}}{R^4}[\mathit{R}\cdot \mathit{A}({\mathit{r}}^{\prime })]e^{-R/{\xi }_p}\mathrm{d}V$$

其中$\mathit{R}={\mathit{r}}^{\prime }-\mathit{r}$，${\xi }_0$为相干长度，是超导体的常数，${\xi }_p$为有效相干长度，$l$为平均自由程，满足： $$\frac{1}{{\xi }_p(l)}=\frac{1}{{\xi }_0}+\frac{1}{\alpha l}$$

$\alpha$是数量级为1的常数。

London极限 ${\xi }_p\ll \lambda$

当$l$很小时： $$\lambda ={\lambda }_L{\left(\frac{{\xi }_0}{l}\right)}^{\frac{1}{2}}$$

Pippard极限 ${\xi }_p\gg \lambda$

当$l$很大时： $$\lambda ={\left(\frac{\sqrt{3}{\lambda }_L^2{\xi }_0}{2\pi }\right)}^{\frac{1}{3}}$$

Ginzburg-Landau(GL)方程

  假设超导态的Gibbs自由能密度为$g_s$，正常态的自由能密度为$f_n$，超导电子波函数（序参量）$\mathrm{\Psi }$，满足$|\mathrm{\Psi }{|}^2=n_s$，根据Landau的二级相变理论，有： $$\begin{array}{rl}{g}_s({\mathit{H}}_a)=f_n(0)& +\alpha |\mathrm{\Psi }{|}^2+\frac{\beta }{2}|\mathrm{\Psi }{|}^4+\frac{1}{2m}|-i\hslash \mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }-e\mathit{A}\mathrm{\Psi }{|}^2\\ & +\frac{B^2}{2{\mu }_0}-\mathit{B}\cdot {\mathit{H}}_a\end{array}$$

对$\mathrm{\Psi }$和$A$分别变分得到： $$\begin{array}{}\text{(GL I)}& \frac{1}{2m}(-i\hslash \mathrm{\nabla }-e\mathit{A}{)}^2\mathrm{\Psi }+\alpha \mathrm{\Psi }+\beta |\mathrm{\Psi }{|}^2\mathrm{\Psi }=0\end{array}$$

边界条件： $$\mathit{n}\cdot (-i\hslash \mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }-e\mathit{A})\mathrm{\Psi }=0$$

以及 $$\begin{array}{}\text{(GL II)}& \frac{1}{{\mu }_0}\mathrm{\nabla }\times \mathit{B}=\frac{\hslash e}{2im}({\mathrm{\Psi }}^{\ast }\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Psi }}^{\ast })-\frac{e^2}{m}|\mathrm{\Psi }{|}^2\mathit{A}={\mathit{j}}_s\end{array}$$

边界条件： $$\mathit{n}\times (\frac{\mathit{B}}{{\mu }_0}-{\mathit{H}}_a)=0$$

GL穿透深度

定义GL穿透深度 $$\lambda =\frac{1}{H_a}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}H(x)\mathrm{d}x$$

推导可以得到，在弱场（$H_a\ll H_c$）条件下，有： $$\lambda (T,H_a)={\lambda }_0(T)[1+\frac{\kappa (\kappa +2\sqrt{2})}{8(\kappa +\sqrt{2}{)}^2}{\left(\frac{H_a}{H_c}\right)}^2]$$

在高$\kappa$（$\kappa \gg 1$）条件下有： $$\lambda (T,H_a)=\frac{\sqrt{2}{\lambda }_0(T)}{\sqrt{1+\sqrt{1-{\left(\frac{H_a}{H_c}\right)}^2}}}$$

其中， $${\lambda }_0(T)=\sqrt{\frac{m}{{\mu }_0{e}^2|\mathrm{\Psi }{|}^2}}$$

$$\kappa =\frac{{\lambda }_0(T)}{\xi (T)}$$

GL相干长度

定义GL相干长度 $${\xi }^2(T)=\frac{{\hslash }^2}{2m|\alpha (T)|}$$

或者写成

$${\xi }^2(0)=\frac{{\hslash }^2}{2m|\alpha (0)|}$$

$$\xi (T)=\xi (0){\left|\frac{T_c}{T_c-T}\right|}^{\frac{1}{2}}$$

三个方程的异同

	London方程	Pippard方程	GL方程
适用条件	1. 弱磁场 ${\mathit{H}}_a\ll {\mathit{H}}_c(T)$ 2. 均匀超导体 即$n_s$与$\mathit{r}$无关 3. ${\xi }_p=0$	1. 弱磁场 ${\mathit{H}}_a\ll {\mathit{H}}_c(T)$ 2. 均匀超导体 即$n_s$与$\mathit{r}$无关	1. $\xi (T)\gg {\xi }_p$ 2. $\lambda (T)\gg {\xi }_p$ 两个条件等价于 $(T_c-T)\ll T_c$
物理意义	刚性局域方程 GL方程的弱场近似	非局域方程	局域方程
$\lambda$与${\mathit{H}}_a$的关系	无法解释	无法解释	可以解释
界面能${\sigma }_{ns}$	一定为负 无法解释Meissner态	可正可负 可以解释Meissner态	可正可负 可以解释Meissner态 将超导体按界面能正负分成两类

London方程：刚性局域方程，成功解释超导体电流在距表面${\lambda }_L$的范围内流动。

Pippard方程：非局域方程，引入非局域解释以及相干长度${\xi }_p$，解决London方程的负界面能问题。

GL方程：局域方程，解决了超导唯象方程只适用于弱场的问题，将超导体按界面能正负分成两类。

穿透深度和相干长度

穿透深度$\lambda$：磁场浸入超导体的深度。

相干长度$\xi$：超导有序度的变化范围，热力学函数在这个空间范围内发生改变；在GL理论中，还代表$\mathrm{\Psi }$变化的特征长度和出现超导区的范围。